|
|
Page:42
בכל המקרים הללו אומרים שהמטען יוצר סימטריה כדורית סביב הנקודה , 0 במרכז הכדור . אם נסרטט משטח גאוס כדורי שרדיוסו r ומרכזו ב , 0 השדה החשמלי יהיה זהה בגודלו בכל נקודה על המשטח , וכיוונו יהיה על הקו המחבר את הנקודה עם ) . 0 הנימוקים לכך הם אותם נימוקים שבהם השתמשנו בדוגמא . ( 1 מחוק גאוס נובע כי 4 nr E = Q / e כאשר Q הוא המטען הכולל הנמצא בתוך כדור שרדיוסו r לכן השדה הוא : = Q ) כל המטען שמרחקו מ 0 קטן מ (? המטען שמחוץ לכדור שרדיוסו r אינו משפיע על השדה , והמטען שבתוך הכדור שקול למטען בגודל זהה , הצבור במרכז הכדור . שאלה 3 . 4 א . כדור ברדיוס R העשוי מחומר מבודד , טעון בכל נפחו בצפיפות מטען נפחית אחידה p ) p נמדד בקולון \ מטר . ( מצא את השדה במרחק r ממרכז הכדור , כאשר r > R וכאשר . r < R ב . כדור ברדיוס 0 . 05 מ' טעון בכל נפחו בצפיפות מטען נפחית אחידה . המטען הכולל הוא C . 3 xlO מצא את השדה במרחק r ממרכז הכדור , כאשר r = 0 . 01 m וכאשר r = 0 . 1 m ( רשות : סרטט גרף של E כפונקציה של \ r ג . ענה שוב על סעיף ב אם נתון כי כל המטען C ) ( 3 xiO מפוזר בצפיפות שטחית אחידה על פני הכדור . כבר הזכרנו את הדמיון בין הכוח האלקטרוסטטי לכוח הכבידה . מסה נקודתית m משרה במרחק r ממנה שדה כבידה שעוצמתו . Gm / r 2 מכיוון שהתלות של שדה הכבידה במרחק זהה לתלות של השדה האלקטרוסטטי במרחק ( תלות של , ( 1 / r גם שדה הכבידה מציית לחוק גאוס . לכן שדה הכבידה של כדור בעל צפיפות אחידה , בנקודה שמחוץ לכדור , זהה לשדה שהיה נוצר אילו כל מסת הכדור הייתה מרוכזת במרכזו ) . הזכרנו זאת ביחידות קודמות , בלי הוכחה . ( אם נקדח בכדור הארץ בור אנכי , שדה הכבידה בתחתית הבור יהיה , Gm' / r כאשר r הוא המרחק מתחתית הבור למרכז כדור הארץ m < -1 הוא חלק מהמסה של כדור הארץ , הכלול בכדור שרדיוסו r ( ראה שאלת סיכום 35 ביחידה . ( 5 המשפט שלפיו כדור בעל צפיפות מסה אחידה מפעיל כוח כבידה , כאילו כל מסתו הייתה מרוכזת במרכז , מופיע כבר ב"עקרונות" של ניוטון , שפורסמו ב . 1686 ניוטון לא הכיר את חוק גאוס , וההוכחה שלו למשפט התבססה על מעין תהליך של אינטגרציה . קרל פרידריך גאוס ( 1855-1777 ) היה מתמטיקאי גרמני גאוני שהשפיע על שטחים רבים כמתמטיקה . הוא פיתח את החוק הנקרא על שמו דווקא עבור שדה כבידה . אחר כך הוברר כי החוק הזה מתאים גם לשדה חשמלי , ואפילו שימושי יותר במקרה החשמלי . לפני שנעבור לדוגמא הבאה , נדגיש כי רק להתפלגות מטען בעלת סימטריה כדורית אפשר להתייחס כאל מטען נקודתי . השדה של קובייה טעונה , למשל , אינו מתנהג כאילו כל המטען מרוכז במרכז הקובייה . משפט : 4 השדה של ישר טעון אינסופי נתון על ידי משוואה . E = M 2 ne : ( 2 . 22 ) הוכחה : בסעיף 2 . 4 חישבנו , בעזרת אינטגרציה , את השדה של קו ישר , אינסופי , הטעון בצפיפות קווית אחידה , ג . עתה נראה כי אפשר לחשב את השדה הזה ביתר קלות בעזרת חוק גאוס . מהסימטריה של התפלגות המטען נובע כי : . 1 בכל נקודה כיוון השדה ניצב לישר הטעון . כשהמטען חיובי , כיוון השדה הוא מהמטען והלאה . כשהמטען שלילי , השדה מכוון אל המטען . . 2 השדה בכל נקודה תלוי רק במרחק ( האנכי ) של הנקודה מקו המטען .
|
|