|
|
Page:142
5 . 2 משוואות התנועה ננסה עתה למצוא נוסחה מפורשת ל : ( £ ) ג , כלומר נוסחה שתיתן את המקום של הגוף המבצע תנועה הרמונית , בכל רגע . t לשם כך נכתוב את משוואה ( 5 . 2 ) כך : במקום התאוצה , a כתבנו d x / dt ( כזכור v = dx / dt ולכן = dvldt = d xldt המשוואה שקיבלנו נקראת משוואה ז »* פרנצ » אל » ת . הפתרון של משוואה זו הוא פונקציה pit ) שאם נגזור אותה פעמיים נקבל אותה פונקציה עצמה , מוכפלת במקדם שלילי . פונקציה אלגברית מהצורה ax לא תתאים כפתרון , אך אם נחפש בין הפונקציות הטריגונומטריות , נגלה עד מהרה כי גם פונקציית הסינוס וגם פונקציית הקוסינוס ממלאות תנאי זה , כי נגזרת שנייה של siny היא siny וזו של cosy היא )-cosy כאשר y נמדד ברדיאנים . ( אנו מחפשים פונקציה של הזמן . t מכיוון שרדיאנים הם מספרים חסרי ממד , נציב cot במקום 3 ' כאשר 00 הוא גודל שהיחידות שלו הן שנ . כמו כן , נוכל לכפול את פונקציית , הסינוס או הקוסינוס במקדם . B , הגענו לפונקציות . x = Bcoswt ^ = Bsina * בעזרת כלל השרשרת , נמצא כי : בניגוד למשתאות אלגבריות , משתאה דיפרנציאלית מכילה פונקציה . ונגזרות שלה . הפ > ס » קה והמציאות התנועה ההרמונית המתוארת במשוואה F = kx היא קירוב טוב , אך לא מושלם , של התנועות המתוארות באיורים 5 . 3 ו . 5 . 4 הסיבה לכך היא שבמציאות כל מתנד הרמוני ( גוף הנע בתנועה הרמונית ) מפסיד אנרגיה תוך כדי התנודה , בגלל כוחות חיכוך . הפיכת אנרגיה מכנית לחוס גורמת לכך שמשרעת התנודה תלך ותקטן עד שבסופו של דבר התנועה תיעצר . המשוואה F = kx אינה לוקחת בחשבון את הדעיכה של התנועה , ולכן יש לראות בה אידיאליזציה של המציאות . בעיה זו אינה חדשה לנו . למעשה כבר נתקלנו בה בעבר כאשר דיברנו על גופים הנעים על " מישור חלק" וכשעסקנו בגלגל הסובב על ציר "חסר חיכוך . " יש לזכור כי הפיסיקה מסוגלת לתת תיאור נאמן של מציאות סבוכה , אך כדי שנוכל לתת פתרון פשוט ואלגנטי לבעיות מציאותיות , אנו מעדיפים לטפל במודל מפושט . תנועה הרמונית הדועכת עם הזמן , בגלל חיכוך , מכונה תנועה הרמונית מרוסנת . אם הריסון אינו גדול מדי , כלומר אם המערכת משלימה מספר רב של תנודות לפני שהיא נעצרת , התנועה מתוארת בקירוב טוב למדי על ידי הנוסחאות של תנועה הרמונית פשוטה ( בלתי מרוסנת . ( שאלה 5 . 2 כדי למתוח או לכווץ את הקפיץ שבאיור 5 . 3 ב 5 ס"מ , יש להפעיל כוח של 10 ניוטון . מסת הגוף שבאיור היא 0 . 1 ק"ג . הסיטו את הגוף למרחק של 10 ס"מ מנקודת שיווי המשקל ושחררו אותו ממנוחה . א . מצא את . k ב . מצא את המהירות המקסימלית ואת המשרעת של התנועה . ג . חשב את התאוצה בנקודות הקצה ובנקודת שיווי המשקל . ד . חשב את האנרגיה הפוטנציאלית ואת האנרגיה הקינטית בנקודות הללו . בקורס מכניקה תוכל ללמוד על תניעה הרמונית מרוסנת , ועל תנועה הרמונית מאולצת חיצןני מספק לגוף את האנרגיה שהוא מאבד בשל החיכוך . (
|
|