|
|
Page:12
מתנאי זה נובע כי , 2 x , y = + , xxy = 2 , xy ובאינדוקציה מקבלים כי לכל m טבעי ולכל V ∈ : x , y x אם נציב כאן במקום , x נקבל כי m m לפי תוצאות אלה , לכל מספר רציונלי חיובי = α מתקיים n , xy α = x , y α ( 7 ) בנוסף , מנוסחה ( 4 ) נובע כי xy , − = x , y − , ולכן ( 7 ) נכון לכל מספר רציונלי α . עתה נשים לב שאגף שמאל של ( 7 ) הוא פונקציה רציפה של α , כפי שנובע מרציפות הנורמה ומנוסחה ( . ( 4 גם אגף ימין הוא פונקציה רציפה ( ואף לינארית ) של α . מכאן , ומכך שמספרים רציונליים מהווים קבוצה צפופה ב – , R נסיק את נכונות ( 7 ) לכל α ממשי . בכך אישרנו את תנאי ד וסיימנו את הוכחת המשפט למקרה הממשי . נעבור למקרה המרוכב . משאלה 51 בפרק 2 נובע , כי במרחב מכפלה פנימית מרוכב מתקיימת הז הות ( 1 2 2 2 2 yxyxyixiyixi) −− ++ −− + = 8 ) x , y ) 4 ולכן , בבואנו לבנות את המכפלה הפנימית הדרושה , אנו חייבים להגדירה לפי ( . ( 8 שאלה 1 הוכיח ו כי הנוסחה ( 8 ) מגדירה מכפלה פנימית ב – V המקיימת את ( . ( 1 התשובה בעמוד 513 בכך סיימנו את הוכחת משפט ¸ . 6 . 2 נסיים את הסעיף במספר שאלות הדנות בגיאומטריה של מרחב נורמי . נזכיר כי אם v ≠ u הם שני וקטורים במרחב וקטורי , V אז הקבוצה { 1 ≤ t ≤ V , 0 ∈ t ) v : u , v − tu + ( 1 } מכונה הקטע המחבר את u ו – . v קבוצה V ⊆ K נקראת קמורה אם לכל K ∈ v , u , v ≠ , u גם הקטע המחבר את u ו – v מוכל ב – . K שאלה 2 א . יהי { 0 } ≠ V מרחב נורמי ויהי { 1 ≤ xV : x ∈ } B = כדור היחידה סביב . 0 הוכיחו כי : ( B ( i קבוצה סימטרית ביחס לראשית : אם B ∈ x אז גם B ∈ x − . ( B ( ii קבוצה קמורה . ( B ( iii קבוצה " בולעת " : לכל וקטור 0 ≠ x במרחב קיים מספר > 0 δ ( התלוי ב – , ( x כך שהקטע { x δ ≤ t ≤ tx : 0 } מוכל ב – , B בעוד שעבור x δ > , t הווקטור xt אינו שייך ל – . B
|
|