|
|
Page:8
6 . 1 הגדרת מרחב נורמי ותכונותיו הראשונות בטרם ניגש להגדרת מרחב נורמי , אנו ממליצים לקוראים לחזור לעמוד הראשון של סעיף . 3 . 7 בעמוד זה הזכרנו את תכונות הנורמה המוגדרת בעזרת מכפלה פנימית , ו הבאנו רשימה קצרה של טענות והגדרות מהחומר הקודם בהן לא השתמשנו במכפלה פנימית אלא רק בנורמה ובתכונותיה . כבר מרשימה זו ניתן לראות שמושג הנורמה מספק לנו תכונות רבות של מרחבי הילברט . מכאן עולה הרעיון לעסוק במרחבים וקטוריים בהם מושג זה מוגדר ישירות ולא נגזר ממכפלה פנימית . הגדרה 6 . 1 יהי V מרחב וקטורי ( ממשי או מרוכב ) . פונקציה מ – V ל – , R המסומנת על – ידי ⋅ , נקראת נורמה ב – V אם היא מקיימת את התכונות הבאות : ( 0 ( i ≥ x לכל V ∈ x ו - x = 0 אםם . x = 0 ( x ( ii ⋅ α = x α לכל V ∈ x ולכל סקלר α . ( x + y ( iii ≤ x + y לכל V ∈ x , y ( אי – שוויון המשולש ) . מרחב V המצויד בנורמה , נקרא מרחב וקטורי נורמי ( normed linear space ) או פשוט מרחב נורמי . מרחב כזה נהוג לסמן לעתים על – ידי (⋅ , . ( V מאוחר יותר נראה כי במרחב וקטורי אפשר להגדיר נורמות רבות . הסימון שהבאנו מאפשר להבחין בין מרחבים נורמיים שונים , ה " מתאימים " לאותו מרחב וקטורי . להלן נביא רשימה של תכונות ומושגים בסיסיים של מרחבים נורמיים . תכונות אלה ידועות לנו ממרחבי מכפלה פנימית ואין צורך להסביר ולהוכיח אותן מחדש , כי הן מתבססות רק על תכונות הנורמה , הווה אומר - רק על התכונות שבהגדרה . 6 . 1 . 1 המספר האי – שלילי y − x נקרא המרחק בין x ו – . y לכל V ∈ x , y מתקיים xy − ≤ y − . x . 2 אומרים כי סדרה V ⊂ { x n } מתכנסת לווקטור V ∈ x ( ורושמים x → , ( x אם 0 → x − . x יחידות הגבול : אם x → x אז x הוא הגבול היחיד של { . { x n אריתמטיקה של גבולות : אם yxx → , → y ו – α → α סדרת סקלרים , אז + xy → , x + y ו – x α → x α . . 3 רציפות הנורמה : אם x → x אז x → . x n . 4 ההגדרות והתכונות של קבוצה סגורה ושל הסגור של קבוצה זהות לאלה שבמרחבי מכפלה פנימית ; הוא הדין לגבי קבוצה צפופה , קבוצה חסומה וכדור . נציין בפרט , שכדור היחידה ופני כדור היחידה הן קבוצות סגורות וחסומות . ( רא ו תכונות 9 , 8 מתוך הרשימה שבסעיף . ( 1 . 4
|
|
|