|
|
Page:7
מבוא כזכור לכם , במרחבי מכפלה פנימית הנורמה של וקטור מוגדרת כ – . u = , uu אך מרחבי מכפלה פנימית אינם המרחבים היחידים המופיעים באנליזה . לעתים קרובות יש צורך לדון במרחבים וקטוריים בהם הנורמה אינה קשורה לאף מכפלה פנימית , אלא מוגדרת לפי כלל מסוים , כך שמתקיימות שלוש התכונות הרגילות : ( 0 ( i ≥ x ו – x = 0 אםם . x = 0 ( x ( ii ⋅ α = x α . ( x + y ( iii ≤ . x + y מרחבים כאלה מכונים מרחבים נורמיים . כמובן , כל מרחב מכפלה פנימית הוא מרחב נורמי . בהמשך נראה כי ההיפך לא נכון . למשל , מרחב האופרטורים ( , S ( E , E בו טיפלנו בסעיף , 3 . 7 הוא מרחב נורמי , אך הנורמה המוגדרת בו לא מתקבלת מאף מכפלה פנימית . בפרק זה נכיר דוגמאות חשובות נוספות של מרחבים נורמיים , ונחקור את תכונותיהם . נזכיר כי מושגים שונים ( כגון מושג ההתכנסות ) הוגדרו , עבור מרחבי מכפלה פנימית , תוך שימוש בנורמה בלבד . תכונות רבות של מושגים אלה ( למשל , אריתמטיקה של גבולות ) הוכחו אף הן ללא הסתמכות על מכפלה פנימית , אלא על סמך שלוש התכונות דלעיל של הנורמה . לכן , בטיפולנו במרחבים נורמיים , אנו יכולים להמשיך וליהנות משילוב שיטות אלגבריות ושיטות אנליטיות . לא ייפלא גם , שלתוצאות רבות בדבר מרחבי מכפלה פנימית , יש הקבלות מיידיות במרחבים נורמיים . מדובר , כמובן , בתוצאות שבניסוחן לא מופיע המושג " אורתוגונליות " - הרי בהיעדר מכפלה פנימית , מושג זה הוא חסר משמעות במרחבים נורמיים . אך נזהיר מיד : ישנן תוצאות מסוג זה , שההקבלות שלהן למרחבים נורמיים אינן נכונות כלל , או שהוכחותיהן קשות בהרבה .
|
|