|
|
Page:9
קל לבדוק כי KpS הוא תת – מרחב של . V נאמר כי K פורשת את V אם . KpS = V › דוגמאות א . נתבונן בווקטורים הבאים במרחב : C n e = ( 0 , … , 0 , 1 , 0 , … , 0 ) , k = 1 , 2 , … , n k ↑ המקום ה – k –י n לכל C n ∈ ( ξ , … , ξ) = x מתקיים e k ξ ∑ = x ולכן , Sp { e , … , e } = C n כלומר k = 1 הקבוצה { e , … , e } פורשת את . C n ב . נתבונן בקבוצה { 1 , x , x , … } במרחב הפולינומים . P כל פולינום הוא צירוף לינארי של איברי קבוצה זו , משמע שהיא פורשת את . P קבוצה זו היא גם קבוצת איברי [ C [ a , b אך אין היא פורשת מרחב זה שכן ישנן פונקציות רציפות אשר אינן פולינומים . › תלות לינארית וקטורים x , … , x k ב – V מכונים בלתי – תלויים לינארית אם השוויון יתכן אך ורק כאשר = 0 α לכל . i במקרה כזה אומרים שהצירוף טריוויאלי . כמו כן , x , … , x k תלויים לינארית אם קיימים k α , … , α שלא כולם אפס המקיימים את השוויון ( . ( 1 במקרה זה אם למשל 0 ≠ α , נקבל מ – ( 1 ) כי ונמצאנו למדים שכאשר קבוצה תלויה לינארית אז ניתן להביע אחד הווקטורים כצירוף לינארי של היתר . וברור כי נכון גם ההיפך . קבוצת וקטורים אינסופית K נקראת בלתי – תלויה לינארית אם כל קבוצה חלקית סופית שלה היא בלתי – תלויה לינארית . כאשר { K = { x , x , … היא בת – מנייה ( רא ו פרק ב להלן ) , די לוודא כי כל רישא { x , … , x } של K בלתי – תלויה לינארית , על מנת להסיק כי K בלתי –תלויה לינארית . 1 אומרים גם כי הקבוצה { x , … , x } בלתי – תלויה לינארית . 2 הגדרה זו שקולה להגדרה V . 02 בקורס " אלגברה לינארית , " I ודאו זאת בעצמכם .
|
|