|
|
Page:13
א . שדות דרכה של המתמטיקה להתחיל בהסקה מהפרט אל הכלל ולסיים בהסקה מהכלל אל הפרט . לכן נתחיל את דרכנו בדבר ידוע לנו : המספרים . כשאנו מדברים על "מספרים " ופעולות החשבון עליהן , אנו בדרך כלל מתכוונים למספרים הממשיים . נסמן את קבוצת כל המספרים האלה M-2 אנו יודעים מימי בית הספר שעל R מוגדרות פעולות חיבור וכפל , שלכל מספר 1-ב קייס נגדי , אף הוא , » -ב ושלכל מספר שונה » -ב 0-מ קיים הפכי , גם הוא . « -ב לעתים אנו מתמקדים בתת-קבוצה Q של M . המורכבת מכל המספרים הרציונליים , כלומר , אותם מספרים מהצורה כאשר ^ 771 שלם ? 1-ו שלם שתה , 0-מ ביודענו שקבוצה זו סגורה תחת הפעולות הללו : הסכום של שני מספרים רציונליים ומכפלתס גם הם מספרים רציונליים , הנגדי ותהפכי של מספר רציונלי שונה 0-מ אף הם מספרים רציונליים . > את העובדה 0-ש שונה -מR גילה היפסיס ממטאפונטיון , אחד מחסידי המתמטיקאי / מיסטיקן היווני פיתגורס , כאשר הוכיח ש- / 2 י אינו מספר רציונלי ; תגלית זו נחשבת לציון דרך חשוב במתמטיקה העתיקה . ) אנו גס יודעים דברים אחרים על פעולות החשבון : הן החיבור והן הכפל מקיימות את כללי הקיבוץ והחילוף , כפל מתפלג מעל חיבור , וקייס מספר אדיש לגבי חיבור > שהוא ( 0 ואיבר אדיש לגבי כפל ( שהוא . ( 1 במעברנו הראשון מהפרט אל הכלל ברצוננו להגדיר מבנה מופשט בעל אותן תכונות אלגבריות הקיימות בשתי קבוצות המספרים הללו . קבוצה F שאינה ריקה יחד עם פונקציות { a , b )^ a + b ו- F x F-a ( a , b ) < -+ ab irrvraun , F- > עליה בהתאמה פעולות הנקראות חיבור וכפ , > נקראת שדת אם ורק
|
|
|