|
|
נספחים למתמטיקה מצרית | 147 יחידה שונים ? סילבסטר הראה שכך אכן קורה, תוך שהוא מוכיח שבסוף כל שלב שמחסרים בו מהשבר את שבר היחידה הקרוב אליו ביותר ( והקטן ממנו ) , המונה של השבר המתקבל מההפרש בין שני השברים, קטן מהמונה של השבר שהתקבל בשלב הקודם . מכיוון שהמונים הולכים וקטנים ( ונשארים חיוביים ) , התהליך בהכרח מסתיים במספר סופי של שלבים . ברוקהיימר ( שם ) פישט את ההוכחה של סילבסטר, והראה מדוע המונים של השברים הולכים וקטנים : נניח שבשלב כלשהו של התהליך ( שיכול כמובן להיות גם השלב ההתחלתי ) , התקבל השבר , ונניח כי הוא שבר היחידה הקרוב אליו ביותר וקטן ממנו . מתקיים : אם נראה שמתקיים : , הרי שאכן נראה שהמונים של השברים הולכים וקטנים : טענתו של סילבסטר אכן הוכחה, ומכאן שהאלגוריתם שהציע, תמיד מוביל להצגה של שבר כלשהו כסכום של שברי יחידה שונים זה מזה . נזכיר שוב שהצגה המתקבלת באמצעות האלגוריתם היא אחת מתוך אין - סוף הצגות אפשריות, אולם ייחודה בכך שהיא מראה שהצגה כזאת תמיד אפשרית . בהקשר זה, יש לציין שבהוכחה של ברוקהיימר שראינו לעיל, בנוגע לכך שאפשר להציג כל שבר מהסוג על ידי שני שברי יחידה שונים,...
To the book |
|
|