לסבך את הממד

168 | פרקטלים - כשמתמטיקה פוגשת מדע, טבע ואומנות ה - 20 , ביניהם הילברט, פואנקרה, קנטור, פאנו, לבג והאוסדורף . במהלך התפתחות הטופולוגיה, מתמטיקאים חיפשו אחר תכונות של עצם שלא ישתנו כאשר מבצעים עליו טרנספורמציות ששומרות על הומיאומורפיזם ( או על שקילות טופולוגית ) . התחושה שלהם הייתה שבמקרה כזה, הממד בעצם יהיה אחת התכונות שנשמרות . במילים אחרות, מבחינה אינטואיטיבית נראה שמכיוון שהקו הישר והעקום של קוך הם הומיאומורפים, שקולים מבחינה טופולוגית, הרי שגם הממד שלהם יהיה זהה . באופן דומה, הציפייה הייתה שהממד של משולש ושל פתית השלג של קוך יהיה זהה . למרבה ההפתעה, עד מהרה התברר למתמטיקאים שקשה להגיע להגדרה מתאימה של המושג "ממד" באופן שישקף התנהגות עקבית במקרים של שקילות טופולוגית . יתרה מכך, יש לזכור שבמקרה של עקומים כדוגמת קו החוף של בריטניה, מדידה "רגילה" של האורך של עקומים מסוג זה היא חסרת משמעות . לכן, במקום לדבר על מידת האורך של עקומים כאלה, מקובל לעסוק במידת המורכבות שלהם, תוך התייחסות למהירות שבה מידת האורך הולכת וגדלה ביחס לסקלת מדידה הולכת וקטנה . התייחסות למורכבות זו מתאימה לשמש גם לצו...  To the book