נספח הגדרה חלופית לספרביליות

מושג הספרביליות הוגדר ( בסעיף 2 . 7 ) עבור מרחב י הילברט , אך ההגדרה תקפה לכל מרחב מכפלה פנימית . נחזור עליה : הגדרה 2 . 81 מרחב מכפלה פנימית E נקרא ספרבילי , אם קיימת בו קבוצת וקטורים בת – מנייה { v , v , … } כך ש – . Sp { v , v … } = E במשפט שלהלן נציג תנאי הכרחי ומספיק לספרביליות . תנאי זה מהווה אפוא הגדרה חלופית והמקובלת יותר למושג הספרביליות . משפט 2 . 91 וזאת בסתירה לעובדה ש – = 2 ψ−ϕ בהיות ψ , ϕ איברי מערכת אורתונורמלית . אם כן , f היא התאמה חד – חד – ערכית בין K לבין תת – קבוצה של . N זו האחרונה בת – מנייה ולכן כך גם ¸ . K מרחב מכפלה פנימית E הוא ספרבילי אםם הוא מכיל קבוצה בת – מנייה הצפופה בו . הוכחה כיוון אחד טריוויאלי - אם { v } צפופה ב – , E הרי כך גם { Sp { v ( שכן { v k } ⊇ { Sp { v k ) ולכן E ספרבילי . בכיוון ההפוך , נניח כי { Sp { v צפופה ב – E ונבנה קבוצה בת – מנייה Κ הצפופה ב – . E בתור שכזו ניקח קבוצת כל הצירופים הלינאריים של v – ים עם מקדמים רציונליים . K היא בת – מנייה ( ההוכחה זהה לזו שניתנה ב דוגמה ד בפרק ב של יחידת הכנה ) .  To the book