|
|
בסעיף זה נכליל את מושג הסכום הישר למקרה של שני מרחבי הילברט אשר אינם דווקא תת – מרחבים ( אורתוגונליים זה לזה ) של אותו מרחב . H המניע הוא כדלהלן . יהי ⊥ M ⊕ . H = M אז לכל H ∈ x י ש הצגה יחידה מהצורה ⊥ M ∈ M , v ∈ x = u + v , u מכאן נובע כי ההתאמה ( u , v ) → 1 ) x = u + v ) היא התאמה חד – חד – ערכית בין כל א יברי H לבין כל הזוגות הסדורים ( u , v ) באשר M ∈ , u ⊥ M ∈ . v נסמן ~ { ⊥ M ∈ M , v ∈ H = { ( u , v ) : u ~ ונגדיר את פעולות החיבור והכפל בסקלר ב – H על – ידי : ( ' u , v ) + ( u ' , v ' ) = ( u + u ' , v + v ) ⎪ ⎧ ⎨ ( 2 ) ( v α , u α) = ( u , v )α ⎩ ⎪ ~ H המצוייד בפעולות אלה הופך למרחב וקטורי והעתקה ( 1 ) הופכת לטרנספורמציה לינארית מ – H ~ ~ ל – H ( ודאו זאת !) שהיא כאמור חד – חד – ערכית ועל . H עתה , אם x ' = u ' + v ' , x = u + v אז ' 3 ) x , x ' = , ' + , uuvv ) ~ ולכן טבעי להגדיר מכפלה פנימית ב – H על – ידי : ' 4 ) ( u , v ) , ( u ' , v ' ) = , uu ' + v , v ) ~ זוהי אכן מכפלה פנימית ו – H המצוייד בה הוא מרחב שלם ( תתבקשו להוכיח זאת להלן בשאלה , 17 בהקשר כללי יותר ) . מהשוואת ...
To the book |
|
|