|
|
הגדרה 2 . 61 יהיו E , E 1 מרחבי מכפלה פנימית ( מעל אותו שדה ) . נאמר כי הם איזומורפיים אם קיימת העתקה E → A : E שהיא טרנספורמציה לינארית חד – חד – ערכית מ – E על , E השומרת על הנורמה : לכל E 1 ∈ 1 ) Ax = x x ) העתקה A כזאת נקראת איזומורפיזם . נהוג גם לכנות את A בשם איזומטריה לינארית . הערות א . החד – חד – ערכיות של A נובעת למעשה מ – ( 1 ) ומהלינאריות : y − y ) = x − Ay = ( Ax − Ax ולכן Ax = yA אםם . x = y ב . בקורס " אלגברה לינארית " I הוכחנו שאם E 2 → A : E היא טרנספורמציה לינארית חד – חד – ערכית ועל E 2 אז מוגדרת ההעתקה ההפוכה E 1 → 1 : E 2 − A ( על – ידי : y = x − A ⇔ y = Ax ) והיא טרנספורמציה לינארית חד – חד – ערכית מ – E על . E 1 אם אלה הם מרחבי מכפלה פנימית ו – A שומרת על נורמה , הרי כך גם 1 − : A 1 − yA = x = Ax = y אי – לכך מושג האיזומורפיזם של מרחבי מכפלה פנימית הוא מושג הדדי , ומוצדק היה לכנות את E , E איזומורפיים ( זה לזה ) למרות שבהגדרה עצמה תפקידיהם אינם סימטריים . ג . מושג האיזומורפיזם הופיע כבר בסעיף 2 . 2 ( לפני משפט 2 . 1 ) שם דרשנו ש – A תקיים : לכל E 1 ∈ 2 ) Ax , Ay ...
To the book |
|
|