|
|
בדיוננו במערכות אורתונורמליות תמיד רשמנו אותן בצורה ∞ { n ϕ } , ∞ { n ϕ } וכד ' . מעצם n = 1 ∞− = n רישום כזה נובע שדנו אך ורק במערכות אורתונורמליות בנות – מנייה . אפשר להכליל את הדיון למערכות אורתונורמליות כלשהן אך לא נעסוק בכך . לכן נזכור כי באומרנו " בסיס אורתונורמלי " אנו מתכוונים לבסיס אורתונורמלי בן – מנייה . ראינו דוגמאות רבות לבסיסים כאלה במרחבי הילברט שונים . נשאלת השאלה האם לכל מרחב הילברט יש בסיס אורתונורמלי ( בן – מנייה ) . בנספח לפרק זה נראה שהתשובה היא שלילית . ברצוננו לאפיין אם כן את אותם מרחבי הילברט שיש להם בסיס אורתונורמלי בן – מנייה . הגדרה 2 . 21 מרחב הילברט H נקרא ספרבילי ( separable ) אם קיימת קבוצת וקטורים בת – מנייה { v , v , … } שהמרחב הנפרש על – ידה צפוף ב – : H אם יש ל – H בסיס אורתונורמלי { ϕ } אז } = H ϕ } Sp ( משפט 2 . 10 ) ולכן H כזה ספרבילי . כאלה הם למשל המרחבים L [ a , b ] , ࡁ 2 וכן כל מרחב ממימד סופי . מסתבר שנכון גם ההיפך . משפט 2 . 31 למרחב הילברט H יש בסיס אורתונורמלי ( בן – מנייה ) אם ם H ספרבילי . הוכחה לאור האמור לעיל , כל מה שנותר להוכיח ...
To the book |
|
|