יהי E מרחב מכפלה פנימית n – ממדי . בפרק 1 הוכחנו שיש ל – E בסיס אורתונורמלי ( רא ו תכונה 6 בעמוד . ( 37 התהליך של גרם – שמידט מספק הוכחה אחרת לכך . יהי אם כן { ϕ , … , ϕ } בסיס אורתונורמלי של . E נגדיר העתקה C n → R ) A : E → , A : E אם E ממשי ) על – ידי : זוהי כזכור העתקה לינארית , חד – חד – ערכית ועל , C וזאת לכל בחירה של בסיס ב – . E הפעם מדובר בבסיס אורתונורמלי דווקא ומכאן נסיק תכונה נוספת של : A לכל E ∈ 2 ) Ax , Ay = x , y x , y ) כלומר , A שומרת על המכפלה הפנימית . n n אכן , יהיו i ϕ α ∑ = , x ϕ β ∑ = y כלשהם . מאחר ש – δ = j ϕ , ϕ נובע כי i = 1 i = 1 אגף ימין אינו אלא המכפלה הפנימית של ( α , … , α) = ) , Ax β , … , β) = Ay ב – , C ומכאן נובע ( . ( 2 בפרט , נקבל כי A שומרת על מרחקים : לפי ( 2 ) y − yx , − y ) = x − , ( yAx (− Ay = ( Ax − AyAx , − Ax ולכן לכל E ∈ y x , y − Ay = x − 3 ) Ax ) ההעתקה שבנינו , שומרת אם כן לא רק על המבנה של E כמרחב וקטורי אלא גם על מבנהו כמרחב מכפלה פנימית . בשל כך , נאמר כי E ו – C הם מרחבי מכפלה פנימית איזומורפיים . נסכם את הדיון במשפט הבא : משפט 2 ....
To the book