באלגברה לינארית למדתם כי בהינתן n וקטורים בלתי – תלויים לינארית u , … , u n במרחב מכפלה פנימית , אפשר למצוא קבוצה אורתונורמלית n ϕ , … , ϕ המקיימת k } , k = 1 , … , n ϕ , … , ϕ } 1 ) Sp { u , … , u k } = Sp ) מערכת זו נבנית אינדוקטיבית , לפי תהליך גרם – שמידט . מגדירים ולכל 2 ≥ k מגדירים את ϕ על – ידי : באשר לאחר מכך מוכיחים באינדוקציה כי { k ϕ , … , ϕ } היא מערכת אורתונורמלית המקיימת את ( , ( 1 לכל n ≤ k ≤ . 1 מכאן ומ – ( 2 ) נובע גם : { 1 − 1 } = Sp { u , … , u k − k ϕ , … , ϕ } Sp ⊥ w − u כלומר w הוא ההיטל של u על התת – מרחב { 1 − n , Sp { u , … , u k ≤ k ≤ . 2 עובדה זו מאפשרת למצוא את w k ישירות , ללא מציאה מקדימה של 1 − k ϕ , … , ϕ , בעזרת הנוסחה הבאה ( רא ו נוסחה ( 6 ) בסעיף : ( 1 . 6 כאשר המרחב הוא אינסוף – ממדי , יש בו קבוצות אינסופיות בלתי – תלויות לינארית . אם { u , u , … } היא קבוצה כזו , אפשר להפעיל עליה את תהליך גרם – שמידט ולקבל מערכת
To the book