|
|
. 1 לכסון סימולטני יהיו ( S ( H ∈ A , B ונניח כי קיימת מערכת אורתונורמלית { n ϕ } , כך שלכל H ∈ x מתקיים nn ϕ ϕ , n x β ∑ = nn , Bx ϕ ϕ , n x λ ∑ = Ax n n אומרים אז כי A ו – B ניתנים ללכסון סימולטני , או לכסינים סימולטנית . 1 אין אנו מניחים כי המקדמים λ , β כולם שונים מ – . 0 לכן { n ϕ } אינה בהכרח מערכת בסיסית של וקטורים עצמיים של . A לקבלת מערכת כזאת יש להשמיט מ – { n ϕ } את אותם הווקטורים שעבורם = 0 λ . הוא הדין לגבי אופרטור . B שני אופרטורים כאלה בהכרח מתחלפים , שכן = BAx ϕ n ϕ , n x β λ ∑ = ABx n תוצאה חשובה היא שנכון גם ההיפך , בהנחה ש – A ו – B קומפקטיים וצמודים לעצמם . משפט 5 . 41 יהיו ( S ( H ∈ A , B אופרטורים קומפקטיים צמודים לעצמם . אם הם מתחלפים , אז הם ניתנים ללכסון סימולטני . הוכחה טענת המשפט היא טריוויאלית , אם . A = B = 0 לכן נניח כי , למשל , 0 ≠ . A יהיו … , µ , µ כל הערכים העצמיים של , A אשר שונים זה מזה ושונים מ – . 0 לכל … , j = 1 , 2 נסמן ( µ I − H = Ker ( A j j נזכיר כי H הוא מרחב סוף – ממדי . לפי משפט , 5 . 9 לכל H ∈ x מתקיים : P x ∑ + 1 ) x = P x ) j כאשר P היא ...
To the book |
|
|