נספח שורש ריבועי של אופרטור חיובי

בנספח זה נוכיח את משפט . 4 . 22 נחזור על ניסוחו : משפט 4 . 22 2 ) ( עבור כל אופרטור חיובי , A קיים אופרטור חיובי יחיד , שנסמנו , A אשר מקיים . A = A אופרטור זה מתחלף עם כל אופרטור אשר מתחלף עם . A כצעד ראשון , נוכיח טענת עזר : טענה 1 יהי ( S ( H ∈ C אופרטור חיובי . אז לכל H ∈ , x 2 Cx , x ⋅ C ≤ Cx הוכחה נקבע H ∈ x ונרשום , לכל R ∈ , t 2 2 2 1 ) C ( x + tCx ) , x + tCx = Cx , x + 2 t Cx + t C x , Cx ) כיוון ש – C חיובי , אגף שמאל של ( 1 ) הוא אי – שלילי . לכן התלת – איבר הריבועי , הרשום באגף ימין של ( , ( 1 מקבל ערכים אי – שליליים בלבד ומכאן שהדיסקרימיננטה שלו אינה חיובית : 4 2 Cx , x ⋅ C x , Cx ≤ Cx מכאן ומהאי – שוויון 2 2 2 Cx ⋅ C ≤ Cx ⋅ C x ≤ C , xCx נובע האי – שוויון המבוקש . ¸ התוצאה הבאה היא אנלוג מעניין של המשפט בדבר התכנסותן של סדרות מונוטוניות חסומות של מספרים ממשיים . טענה 2 תהי { A } סדרת אופרטורים צמודים לעצמם ב – ( . S ( H נניח כי היא עולה וחסומה מלעיל , כלומר B ≤ … ≤ A ≤ , A כאשר ( S ( H ∈ B צמוד לעצמו . אז קיים אופרטור צמוד לעצמו , , A כך ש – לכל H ∈ lim A x = Ax x ∞→ n כ...  To the book