|
|
כל אופרטור לינארי חסום H → A : H מעביר סדרה חסומה ב – H לסדרה חסומה ב – , H שכן אם M ≤ , x n לכל 1 ≥ , n אז MA ≤ . Ax n א יברי הסדרה { Ax } שייכים ל – , mI A ואם נתון כי ∞ < dim mI A ( כלומר A הוא בעל דרגה סופית ) , נסיק ממשפט בולצאנו – ויירשטראס כי לסדרה { Ax } יש תת – סדרה מתכנסת . בסעיף זה נדון באופרטורים כלליים יותר , שאף הם ניחנים בתכונה זו . אופרטורים כאלה מכונים " קומפקטיים " , ויש להם שימושים רבים , למשל בתורת המשוואות האינטגרליות . הגדרה 4 . 32 אופרטור לינארי H 2 → A : H מכונה קומפקטי ( compact ) או רציף לחלוטין ( , ( ycompletel continuous אם עבור כל סדרה חסומה { x } ב – , H 1 הסדרה { Ax } מכילה תת – סדרה מתכנסת . הערות א . אם A עונה על דרישות הגדרה זו , הוא בהכרח חסום ( ולכן רציף ) , שאם לא כן היינו מוצאים סדרה { , x n = 1 , { x שעבורה ∞ → . Ax n אז הסדרה { x } לא היתה מכילה שום תת – סדרה מתכנסת , בסתירה להנחתנו על . A מאידך גיסא קיימים אופרטורים רציפים אשר אינם עונים על דרישות הגדרה . 4 . 23 יהי למשל U אופרטור אוניטרי ב – . H אם H הוא אינסוף – ממדי , יש ב – H מערכת אורתונורמ...
To the book |
|
|