בסעיף זה נתאים לכל אופרטור ( S ( H , H ∈ A אופרטור מסוים ( S ( H , H ∈ * , A המכונה האופרטור הצמוד של . A בהמשך הפרק נשתמש במושג האופרטור הצמוד בעיקר לצורך הסיווג של אופרטורים לינאריים , אך בכך לא נמצה את תפקידו : לעתים קרובות , בבואנו לאשר תכונה זו או אחרת של אופרטור נתון , , A קל יותר לטפל באופרטור הצמוד , * . A תחילה בודקים כי ל – * A יש תכונה מסוימת , הדואלית לתכונה הנדונה של . A לאחר מכן מסיקים מכך על סמך אחד המשפטים הכלליים דוגמת משפטים 4 . 5 - 4 . 3 שבהמשך , כי A הוא בעל התכונה הרצויה . ובכן יהי ( H , H ) ∈ . A לכל וקטור נתון H ∈ , y ההעתקה Ax , y → x היא פונקציונל לינארי חסום ב – H ( רא ו שאלה 61 בסעיף 3 . 4 ) ולכן , לפי משפט ההצגה של ריס ( משפט , ( 3 . 5 קיים וקטור יחיד H 1 ∈ * y כך ש – לכל H 1 ∈ Ax , y = x , y * x עקב יחידותו של * y ניתן להגדיר אופרטור H 1 → A * : H על – ידי לכל H ∈ A * y = y * y אופרטור זה מקיים אפוא , לכל H ∈ x ו – H ∈ , y 1 ) Ax , y = , * xAy ) הערה מן האמור לעיל נובע שאם , בהינתן H ∈ , y מצאנו וקטור H 1 ∈ z המקיים לכל H 1 ∈ Ax , y = x , z x אז בהכרח . z =...
To the book