|
|
יהיו W , V מרחבים וקטוריים ויהי W → A : V אופרטור לינארי . אומרים כי A הפיך אם קיים אופרטור V → B : W כך שלכל V ∈ v מתקיים BAv = v ולכל W ∈ w מתקיים . ABw = w לשון אחר - 1 ) AB = I , BA = I ) W V כאשר I , I הם אופרטורי הזהות במרחבים , W , V בהתאמה . אם B כזה קיים אז הוא יחיד והוא מכונה האופרטור ההפוך של . A נסמן אותו − . A מ – ( 1 ) נובע כי − A הוא אופרטור לינארי . אכן , לכל W ∈ w ולכל סקלר α מתקיים : w − A α = ( w − A α) A − w ) = A − AA α) − w ) = A α) − A באופן דומה מטפלים ב – ( ( w + w − . A מ – ( 1 ) נובע גם כי A הוא אופרטור חד – חד – ערכי ועל . W להיפך , נניח כי A הוא כזה . אז לכל W ∈ w קיים V ∈ v אחד ויחיד שעבורו . Av = w לכן אפשר להגדיר אופרטור V → B : W על – ידי Av = w ⇔ Bw = v B כזה מקיים בבירור את ( . ( 1 לבסוף נזכיר את הבוחן לחד – חד – ערכיות של . A נסמן { : vVAv = 0 ∈ } AKer = מלינאריות A נובע כי Ker A הוא תת – מרחב של . V מכאן נקל להסיק כי A הוא חד – חד – ערכי אםם { . Ker A = { 0 נסכם אפוא : אופרטור לינארי W → A : V הוא הפיך אםם { Ker A = { 0 ו – . mI A = W האופרטור ההפוך...
To the book |
|
|