|
|
התמונה ( , mI A , ( image של אופרטור לינארי V 2 → A : V מוגדרת על – ידי { V 1 ∈ Im A = { Ax : x מלינאריות A נובע כי mI A הוא תת – מרחב של . V בסעיף זה נעסוק באופרטורים במרחבי הילברט שעבורם mI A הוא מרחב סוף – ממדי . לאופרטורים כאלה יש חשיבות רבה ( במיוחד בשיטות נומריות ) שכן הם פשוטים למדי , אך בעזרתם אפשר לקרב אופרטורים כלליים יותר . הגדרה 3 . 7 נאמר כי אופרטור לינארי H 2 → A : H הוא בעל דרגה סופית , אם mI A הוא תת – מרחב סוף – ממדי של . H במקרה זה , נגדיר את הדרגה ( rank ) של A על – ידי ( kran A = dim ( mI A › דוגמה יהיו { w , … , w n } , { y , … , y n } קבוצות וקטורים ב – H וב – , H בהתאמה . נגדיר H → A : H על – ידי n , i xyw i ∑ = 1 ) Ax ) i = 1 ברור כי A לינארי ומקיים { Sp { , … , ww n ∈ . Ax לכן A הוא בעל דרגה סופית ו – n ≤ . kran A כמו כן ולכן A חסום . המשפט הבא מראה שכל אופרטור ( S ( H , H ∈ A שהוא בעל דרגה סופית , נתון על – ידי נוסחה ( . ( 1 משפט 3 . 8 יהי ( S ( H , H ∈ A ונניח כי . kran A = n אז קיימים וקטורים y , … , y ב – H ו – w , … , w ב – , H כך שמתקיים : n לכל H 1 ∈ x ,...
To the book |
|
|