|
|
יהי V מרחב וקטורי מעל F = C ) F או . ( F = R לפונקציה F → f : V נהוג לקרוא פונקציונל . אם לכל V ∈ x , y ולכל F ∈ α מתקיים : ( f ( x α = ( x α) f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) , f אומרים כי f הוא פונקציונל לינארי ב – . V פונקציונל כזה הוא , אם כן , מקרה פרטי של אופרטור לינארי . לכן כל התכונות של אופרטורים לינאריים אשר למדנו עד כה , תקפות גם לפונקציונלים לינאריים . יש רק להחליף בניסוחן את xA ב – ( - f ( x הנורמה של הסקלר ( f ( x במרחב C ( או . ( R לנוחיותכם ננסח תכונות אלה מחדש . משפט ' 3 . 2 יהי E מרחב מכפלה פנימית . עבור פונקציונל לינארי f ב – , E התנאים הבאים שקולים : א . f רציף ב – . E ב . f רציף בנקודה אחת ב – . E ג . קיים קבוע K > 0 כך שלכל E ∈ , x מתקיים Kx ≤ ( . f ( x ד . ∞ < ( . sup f ( x 1 ≤ x הגדרה ' 3 . 3 הנורמה , , f של פונקציונל לינארי f ב – E מוגדרת על – ידי אם ∞ < , f אומרים כי f חסום . מכאן נובע , כמו קודם , כי : פונקציונל לינארי הוא חסום אם ורק אם הוא רציף . אם f חסום , אז לכל E ∈ fx , x ⋅ ≤( . f ( x אם קיים K > 0 כך ש – Kx ≤ ( f ( x לכל , x אז K ≤ . f בהגדרת f אפשר להמ...
To the book |
|
|