|
|
הגדרה 8 . 1 תהי X ⊆ S קבוצה במרחב נורמי . X אופרטור ( לאו דווקא לינארי ) S → A : S מקבוצה S לעצמה הוא כיווץ ( contraction ) של , S אם קיים מספר < 1 α ≤ , 0 כך שמתקיים : S ∈ y , , xy − x ⋅α ≤ Ay − 1 ) Ax ) הפירוש הגיאומטרי של תנאי זה הוא ש האופרטור A " מקטין במידה אחידה " את המרחקים בין כל שתי נקודות של , S כלומר היחס ( d ( , AxAy () , dxy אינו עולה על קבוע אי – שלילי α אשר קטן ממש מ – . 1 › דוגמה א יהי R ⊆ S קטע כלשהו , ותהי f פונקציה ממשית אשר מעתיקה קטע זה לעצמו . לפי הגדרה f , 8 . 1 תהיה כיווץ של S אם קיים < 1 α ≤ 0 כך ש – xyS ∈ , , xy −α ≤( fy ) − ( 2 ) f ( x ) לשון אחר - f מקיימת תנאי לי פּ שיץ ב – S עם " קבוע לי פּ שיץ " קטן מ – . 1 התנאי ( 2 ) מחייב כמובן ש – f רציפה ( ואף רציפה במידה שווה ) ב – . S אם נתון שהיא גם גזירה , נסיק מ – ( 2 ) כי ולכן להיפך , נניח כי מתקיים ( 3 ) ונסמן את הסופרמום ב – α , כך ש – < 1 α ≤ . 0 לפי משפט הערך הממוצע , לכל S ∈ x , y מתקיים אז xy −α ≤( fcxy −)()′ = ( fy ) − ( f ( x אנו מקבלים אפוא שפונקציה גזירה S → f : S היא כיווץ , אם ורק אם מתקיים ( . ( 3 ה...
To the book |
|
|