|
|
נזכיר כי בסעיף זה , כמו בסעיף הקודם , X , Y יסמנו מרחבי בנך . באלגברה לינארית מוכיחים כי עבור אופרטור לינארי A במרחב n – ממדי X נכונה הטענה הבאה : או שלמשוואה Ax = y יש פתרון יחיד לכל בחירה של אגף ימין , או שלמשוואה ההומוגנית המתאימה Ax = 0 קיים פתרון לא טריוויאלי . יש דרכים רבות לקבל תוצאה זו . למשל , אפשר להסתמך על השוויון ( 1 ) dim ( Ker A ) + dim ( AIm ) = dim ( = Xn ) ( רא ו משפט VI . 91 בקורס " אלגברה לינארית . "( I יתכנו שני מקרים : ( א ) , dim ( Im A ) = n ( ב ) . dim ( Im A ) < n במקרה הראשון A הוא על X ולכן למשוואה Ax = y יש פתרון לכל בחירה של . y כיוון שבמקרה זה , dim ( Ker A ) = 0 כפי שנובע מ – ( , ( 1 הרי ש – A הוא חד – חד – ערכי , ולכן הפתרון הוא יחיד . במקרה השני A אינו על X ולכן קיים X ∈ y עבורו למשוואה Ax = y אין פתרון . מאידך , נובע מ – ( 1 ) כי 1 ≥ ( , dim ( Ker A ולכן למשוואה Ax = 0 יש פתרון לא טריוויאלי . לצורך ההמשך נזדקק למושג הבא . הגדרה 7 . 51 יהי M תת – מרחב של מרחב וקטורי . X נניח כי קיים תת – מרחב סוף – ממדי N המשלים את , M כלומר N ⊕ . X = M המימד של N מכונה...
To the book |
|
|