|
|
בשלושת הסעיפים האחרונים של פרק זה X , Y יסמנו מרחבי בנך . ההגדרה של אופרטורים קומפקטיים זהה לזו שניתנה בסעיף : 4 . 6 אופרטור לינארי Y → A : X נקרא קומפקטי , אם עבור כל סדרה חסומה { x } ב – , X הסדרה { xA n } מכילה תת – סדרה מתכנסת . נציין מספר תכונות של אופרטורים קומפקטיים . חמש התכונות הראשונות מופיעות בסעיף , 4 . 6 ואין לשנות מאומה בהוכחותיה ן מלבד המרת מרחבי הילברט במרחבי בנך : . 1 אם A קומפקטי אז הוא חסום . . 2 אם A הוא חסום ובעל דרגה סופית ( כלומר אם ∞ < ( , ( dim ( Im A אז A קומפקטי . ( רא ו בראש סעיף ; 4 . 6 זכרו כי משפט בולצאנו – ויירשטראס תקף בכל מרחב בנך סוף – ממדי , לפי משפט 6 . 8 ב . ) . 3 הסכום של אופרטורים קומפקטיים והמכפלה של אופרטור קומפקטי בסקלר הם שוב אופרטורים קומפקטיים . . 4 המכפלה של אופרטור קומפקטי באופרטור חסום היא אופרטור קומפקטי . ביתר פירוט : יהי X 2 → A : X קומפקטי ויהיו ( S ( , XXBXX ∈ , ( S ( , ∈ . C אז האופרטורים X 2 → X 3 , AC : X → BA : X הם קומפקטיים . . 5 אם { A n } היא סדרת אופרטורים קומפקטיים מ – X ל – Y אשר מתכנסת ( בנורמה של אופרטורים ) ל – , A אז ...
To the book |
|
|