|
|
בסעיף הקודם הבאנו שתי דוגמאות לאופרטורים סגורים לא חסומים . אופרטור הגזירה אשר כיכב בדוגמאות אלה היה מוגדר בתת – מרחב לא סגור של מרחב בנך מתאים , כלומר תחומו לא היווה מרחב נורמי שלם . אין זה מקרי : מסתבר , שאם אופרטור סגור מוגדר על מרחב בנך כולו , ומעתיק אותו לתוך מרחב בנך , אז הוא בהכרח חסום . זהו תוכנו של משפט הגרף הסגור שנוכיח כאן . נביא גם מקצת מן השימושים הרבים במשפט זה . בין היתר , נקבל הוכחה פשוטה של משפט בנך על חסימותו של אופרטור הפוך ( משפט . ( 3 . 9 משפט 7 . 8 משפט הגרף הסגור יהיו B , B 2 מרחבי בנך ויהי B 2 → A : B אופרטור לינארי סגור ( ברישום זה טמונה כבר ההנחה ש – . ( K ( A ) = B אז A חסום . הוכחת המשפט מתבססת על הלמה הבאה : למה יהי A אופרטור לינארי ( לאו דווקא חסום ) אשר מעתיק מרחב בנך B 1 לתוך מרחב בנך . B 2 נסמן { Axnx ≤ : B ∈ E = { x אז קיים N שעבורו , E N = B כלומר הקבוצה E N צפופה ב – . B הערות א . עבור A חסום , הטענה היא טריוויאלית ואף אפשר לחזק אותה : קיים N שעבורו . E N = B 1 אכן , ניקח N כלשהו אשר מקיים A ≥ . N אז לכל B ∈ AxNx , x ≤⋅ ≤ . Ax ב . עיון בהוכחה שלהלן מ...
To the book |
|
|