|
|
ראשית , נגדיר אינטגרל לבג עבור פונקציות אי – שליליות . הגדרה ג - 6 אינטגרל לבג תהי f מוגדרת בקטע I ( סופי או אינסופי ) ונניח כי קיימת סדרה עולה ( במובן הרחב ) של פונקציות מדרגות אי – שליליות I ∈ … , x ≤ ( f ( x ≤ ( f ( x ≤ 1 ) 0 ) 1 2 אשר מתכנסת ל – f כ . ב . מ . ב – I ( בפרט , נובע מכך ש – 0 ≥ f כ . ב . מ . ב – . ( I נאמר אז כי f מדידה ב – . I } { אם , בנוסף לכך , סדרת האינטגרלים f n ∫ חסומה מלעיל ( ולכן מתכנסת לגבול סופי ) , נאמר כי f אינטגרבילית לבג ב – I ונגדיר את אינטגרל לבג של f ב – I על – ידי : f n ∫∞ lim → f = n ∫ ( 2 ) הערות א . כדי ש – f ∫ יהיה מוגדר היטב , היה עלינו לבדוק שערכו אינו תלוי בסדרה { f } דלעיל . אכן כך הדבר , אך לא נוכיח זאת . ב . הגדרת אינטגרל לבג כפי שהובאה לעיל , שונה מזו שניתנה בקורס " תורת המידה " , אולם אפשר להוכיח כ י שתי ההגדרות שקולות זו לזו . › דוגמה נעיין שוב בפונקציית דיריכלה . D בכל קטע I מתקיים : כ . ב . מ . ב – D = 1 I I אי – לכך , הסדרה … , f ( x ) = 1 ( x ) , n = 1 , 2 n I היא סדרה עולה ( למעשה קבועה ) של פונקציות מדרגות המתכנסות ל – D כ . ב . מ ...
To the book |
|
|