חוקי הפילוג

משפט 1 . 7 חוקי הפילוג . 1 פילוג החיתוך מעל האיחוד : A ⋂ ( ⋃ BC ) = ( ⋂ AB ) ⋃ ( ⋂ AC ) . 2 פילוג האיחוד מעל החיתוך : ( A ⋃ ( ⋂ BC ) = ( ⋃ AB ) ⋂ ( ⋃ AC 1 חוקי פילוג מכונים לעיתים ' חוקים דיסטריבוטיביים ' , כתעתיק כינויים הלועזי . 2 טענה זו אנלוגית לחוק הפילוג של הכפל מעל החיבור : לכל . a ( b + c ) = ab + ac , a , b , c ∈ R הוכחה . 1 להוכחת השוויון נוכיח הכלות בשני הכיוונים . תחילה נראה : ( A ⋂ ( ⋃ BC ) ⊆ ( ⋂ AB ) ⋃ ( ⋂ AC לשם כך נניח ש- ( , x ∈ A ⋂ ( ⋃ BC ונראה שבהכרח ( . x ∈ ( A ⋂ B ) ⋃ ( ⋂ AC אם ( x ∈ A ⋂ ( ⋃ BC אז , לפי הגדרת החיתוך , x ∈ A וגם ; x ∈ B ⋃ C לכן , לפי הגדרת האיחוד , בנוסף ל- x ∈ A מתקיים לפחות אחד מבין : . x ∈ C , x ∈ B לכל ( x ∈ A ⋂ ( ⋃ BC מתקיימת אפוא לפחות אחת מהאפשרויות האלה : x ∈ A וגם , x ∈ B כלומר , x ∈ A ⋂ B או x ∈ A וגם , x ∈ C כלומר . x ∈ A ⋂ C אם-כן , בכל מקרה x שייך לפחות לאחת מבין , A ⋂ C , A ⋂ B לכן x שייך לאיחוד הקבוצות הללו , כלומר ( . x ∈ ( A ⋂ B ) ⋃ ( ⋂ AC כעת נראה : ( A ⋂ B ) ⋃ ( ⋂ AC ) ⊆ A ⋂ ( ⋃ BC )  To the book